PDF Lineare Gleichungen Ubungen Mit Losung – Öffnen
Lineare Gleichungen sind eine der Grundlagen in der Mathematik. Diese Aufgaben sollen helfen, das Konzept der linearen Gleichungen zu verstehen und anzuwenden. Die Lösungen sind am Ende des Artikels angegeben.
Aufgabe 1:
Löse die folgende lineare Gleichung:
3x + 2 = 11
Lösung:
3x + 2 = 11
3x = 9
x = 3
Aufgabe 2:
Löse die folgende lineare Gleichung:
5x – 3 = 13
Lösung:
5x – 3 = 13
5x = 16
x = 3,2
Aufgabe 3:
Löse die folgende lineare Gleichung:
2x – 5 = -3
Lösung:
2x – 5 = -3
2x = -2
x = -1
Wie kann man eine lineare Gleichung lösen?
Es gibt viele verschiedene Arten von linearen Gleichungen, aber sie alle lassen sich auf die gleiche Weise lösen. Man nimmt zuerst eine Seite der Gleichung (also entweder nur die linke oder nur die rechte Seite), und man versucht, alle Variablen auf einer Seite der Gleichung zu sammeln. Dann nimmt man die andere Seite der Gleichung und setzt sie gleich der ersten Seite. Danach löst man die Gleichung nach einer der Variablen auf.
Zum Beispiel: 3x + 4y = 12
Wir nehmen zuerst die linke Seite der Gleichung und versuchen, alle Variablen auf einer Seite der Gleichung zu sammeln. Also rechnen wir 3x aus und erhalten: x + 4y = 12
Dann nehmen wir die rechte Seite der Gleichung und setzen sie gleich der linken Seite: x = 12 – 4y
Jetzt lösen wir die Gleichung nach einer der Variablen auf. In diesem Fall lösen wir nach x auf: x = 12 – 4y
12 – 4y = x
12 – x = 4y
x – 12 = 4y
4y = x – 12
y = (x – 12)/4
Was ist eine lineare Gleichung Beispiel?
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, die ein lineares Polynom (ein Polynom, dessen monomische Terme linear sind) enthält. Die allgemeine Form einer linearen Gleichung lautet:
ax + by = c
Wobei a, b und c Konstanten sind (d.h. sie ändern sich nicht) und x und y Variablen sind (d.h. sie können sich ändern). In der Regel wird angenommen, dass a und b nicht gleich Null (0) sind.
Ein Beispiel für eine lineare Gleichung ist:
2x + 3y = 6
In dieser Gleichung ist a = 2, b = 3, c = 6, x ist eine Variable und y ist eine Variable. Wenn man nach x oder y auf beiden Seiten der Gleichung aufgleicht, kann man die Gleichung lösen und herausfinden, welchen Wert x oder y hat.
Wie löst man lineare Gleichungen mit 2 Variablen?
Die Lösung einer linearen Gleichung mit zwei Variablen ist ein Punkt in der zweidimensionalen Koordinatensystem, an dem sich die Geraden treffen, die durch die Gleichung bestimmt werden. Um eine lineare Gleichung in zwei Variablen zu lösen, müssen Sie zwei Gleichungen mit denselben Variablen aufstellen und diese Gleichungen gleichzeitig lösen.
Die allgemeine Form einer linearen Gleichung in zwei Variablen lautet:
ax + by = c
Wenn Sie zwei Gleichungen in dieser Form mit denselben Variablen aufstellen und diese Gleichungen gleichzeitig lösen, finden Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden, der durch die Gleichungen bestimmt wird. Dieser Schnittpunkt ist die Lösung der linearen Gleichung in zwei Variablen.
Um zwei lineare Gleichungen gleichzeitig zu lösen, müssen Sie eine der beiden Gleichungen so manipulieren, dass eine der Variablen aus der Gleichung eliminiert wird. Anschließend können Sie die Gleichungen lösen, indem Sie die variable, die Sie eliminiert haben, ersetzen.
Zum Beispiel betrachten wir die Gleichungen:
3x + 2y = 11 x – y = -1
Wir können eine der beiden Gleichungen so manipulieren, dass eine der Variablen eliminiert wird. Nehmen wir zum Beispiel an, wir manipulieren die zweite Gleichung, indem wir beide Seiten der Gleichung mit 3 multiplizieren.
3(x – y) = 3(-1) 3x – 3y = -3
Jetzt haben wir zwei Gleichungen mit denselben Variablen, und wir können diese Gleichungen gleichzeitig lösen. Um dies zu tun, addieren wir beide Seiten der ersten Gleichung mit 3 mal der zweiten Gleichung.
3x + 2y + 3(3x – 3y) = 11 – 3 6x + 2y – 9y = 8 6x – 7y = 8
Jetzt haben wir eine Gleichung mit nur einer Variable. Um diese Gleichung zu lösen, ersetzen wir die variable y in der zweiten Gleichung mit dem Ausdruck aus der ersten Gleichung.
x – 7(6x – 8) = -1 x – 42x + 56 = -1 -41x + 56 = -1 -41x = -57 x = 57/41
Jetzt haben wir die Lösung für die Variable x. Um die Lösung für die Variable y zu finden, ersetzen wir x in einer der beiden ursprünglichen Gleichungen mit 57/41.
3(57/41) + 2y = 11 171/41 + 2y = 11 2y = -160/41 y = -160/41 / 2 y = -80/41
Die Lösung der linearen Gleichung in zwei Variablen ist x = 57/41 und y = -80/41.
Was ist eine Gleichung Beispiel?
Was ist eine Gleichung? Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, die zwei Dinge miteinander in Beziehung setzt. Die Gleichung a + b = c bedeutet beispielsweise, dass a und b zusammen c ergeben. Wenn man eine Gleichung löst, sucht man nach den Werten, die die beiden Seiten der Gleichung gleich machen. In der Gleichung a + b = c könnte man beispielsweise nach a oder b suchen, wenn man c bereits kennt. Gleichungen können sehr komplex sein und sich auf mehrere Variablen beziehen. Eine einfache Möglichkeit, Gleichungen zu lösen, ist das Substitutionsverfahren: Man ersetzt eine Variable in der Gleichung durch ihren Wert und berechnet dann weiter. Dies kann man so lange wiederholen, bis nur noch eine Variable übrig bleibt.
Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der es nur lineare Polynome gibt. Ein Polynom ist linear, wenn seine Koeffizienten konstant sind und die höchste Potenz 1 hat. Alle anderen sind nicht linear. Eine lineare Gleichung hat also die Form:
ax + b = c
Wenn a = 0, dann ist die Gleichung nicht linear. Die Lösung einer linearen Gleichung ist der Punkt, an dem sich die Geraden treffen, die durch die Gleichung beschrieben werden. Die Lösung einer linearen Gleichung ist also ein Punkt auf der x-Achse.
Die Lösung einer linearen Gleichung lässt sich auf zwei Arten finden:
1) Substitution: Man ersetzt eine der beiden Variablen durch die andere und löst die Gleichung so nach der anderen Variable auf.
2) Elimination: Man addiert oder subtrahiert die beiden Gleichungen so, dass eine der beiden Variablen „eliminiert“ wird, also aus der Gleichung verschwindet.
Die Lösung einer linearen Gleichung kann auch graphisch gefunden werden. Man zeichnet die zwei Geraden, die durch die beiden Gleichungen beschrieben werden, auf ein Koordinatensystem und sucht den Schnittpunkt der beiden Geraden.
Beispiel:
Finde die Lösung der Gleichung:
2x – 3y = 6
Die Lösung dieser Gleichung ist (3,2).
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